Hôm nọ đang bàn luận "sôi nổi" về "các nghịch lý về xác suất" với bác Tèo trong box Toán học ở TTVNOL thì nó die, đến bây giờ bác Tèo vẫn "mất tích". Tớ đành mở lại đề tài ở đây, nhưng với một chủ đề thú vị khác. Đó là "Các nghịch lý về giới hạn và liên tục".

Zénon (thế kỷ thứ 5 trước CN), một nhà Toán học và Triết học Hy Lạp cổ, đã lập luận một cách rất có lý về những điều tưởng chừng như rất ...vô lý. Tớ sẽ cố gắng trình bày vấn đề một cách "sáng sủa" nhất. Mời các bác thưởng thức.

1. Nghịch lý về mũi tên:

Giả sử có hai điểm A và B cách nhau 100 m.

A *-------------------C0----------C1----------*B.

Một người đứng ở A, bắn một mũi tên đến B. Vù....Phập ! Mũi tên đã ghim đúng vào hồng tâm đặt tại điểm B. Thời gian để nó bay đến khoảng vài giây! Chẳng có gì lạ cả ! Nhưng...thực tế có "đơn giản" như vậy không ? ;) . Ta hãy thử xem mũi tên đã bay thế nào ?

Thoạt đầu mũi tên phải bay đến điểm C0 là trung điểm của đoạn AB, sau đó nó sẽ phải bay đến điểm C1 là trung điểm của đoạn C0-B. Nó vẫn còn cách đích (điểm B) một đoạn C1-B và sẽ phải vượt qua điểm C2 là trung điểm của đoạn C1-B đó. Nhưng mũi tên vẫn còn cách B một khoảng và cứ phải bay tiếp đến các điểm giữa của khoảng cách từ nó đến B, cho dù khoảng cách này nhỏ đến đâu chăng nữa ! Dù nó có gần đích (điểm B) thế nào chăng nữa, vẫn còn có điểm giữa của khoảng cách "quái ác" đó mà nó phải vượt qua. Cứ thế...cứ thế...mũi tên sẽ không bao giờ tới đích được! .


2.Nghịch lý về ...chạy đua!

Lực sĩ chạy nhanh nổi tiếng của Hy Lạp cổ Achille (Asin) tự nghĩ rằng mình là vô địch thiên hạ, bèn chấp chú rùa đứng trước mình 1000 mét để chạy đua (Các bạn có thể lấy "hình ảnh" Maurice Green chạy với Vũ Bích Hường, hay Vạn lý độc hành Thái Hoa đại đạo Điền Bá Quang chạy với ...ni cô Nghi Lâm cũng được !).

Giả sử Achille chạy nhanh gấp 10 lần rùa. Quãng đường chạy là 42,...km (marathon ?). Cuộc đua sẽ diễn biến như thế nào? "Achille chạy nhanh" sẽ nhanh chóng bứt phá và bỏ xa chú rùa í ạch kia để về đích chăng? Làm gì có ! Ta hãy xem chuyện gì sẽ xảy ra.

Thoạt đầu, khi Achille tăng tốc và chạy đến chỗ chú rùa xuất phát (1000m) thì chú rùa đã đi được quãng đường 100m (bởi vận tốc của rùa kém Achille 10 lần), Khi Achille chạy thêm được 100 mét thì chú rùa đã đi trước anh ta ... được 10 mét. Khi Achille cố gắng chạy thêm 10 mét thì rùa vẫn bỏ xa anh ...1 mét. Achille tiếo tục rướn thêm 1m thì rùa vẫn hơn anh ...1dm (décimètre !). Kết quả là dù Achille có chạy nhanh đến mấy thì rùa vẫn luôn vượt trước anh ta 1 khoảng cách bằng 1/10 quãng đường anh vừa đi. 8)

Như vậy, Achille sẽ mãi mãi không bao giờ đuổi kịp rùa ! . ;)

Hơ cái bác này, chỉ cần nhân vận tốc với quãng đường là ra ngay thời gian để mũi tên twói đích hoặc ông asin vượt chú rùa thui, miễn là vận tốc > 0. Còn lý luận theo cái cách của bác, thì người ta đặt ra số e làm giề?
À mà bác có biết bài toán chứng minh 1=2 không?

[quote author=ThạchSùng link=board=3;threadid=628;start=0#4468 date=1030627365]
Hơ cái bác này, chỉ cần nhân vận tốc với quãng đường là ra ngay thời gian để mũi tên twói đích hoặc ông asin vượt chú rùa thui, miễn là vận tốc > 0. Còn lý luận theo cái cách của bác, thì người ta đặt ra số e làm giề?
À mà bác có biết bài toán chứng minh 1=2 không?
[/quote]

Hơ cái bác này, chia quãng đường cho vận tốc (chứ ko phải "nhân vận tốc với quãng đường" ;) ) thì nói làm gì. Đã bải đây là nghịch lý cơ mà. Thế bác có bẻ được lý luận của Zénon trong hai nghịch lý kia không?

Còn về bài toán chứng minh "1=2" áh ? Để tớ thử xem sao ?

Giả sử a=1.
Đặt b=a + 1 (*) (tức b=2)

Nhân hai vế của đẳng thức (*) cho (b-a), ta được:

b(b-a) = (a+1)(b-a)
<=>
b^2 -ab = ab + b - a -a
<=>
b^2 -ab -b = ab - a^2 -a
<=>
b(b-a-1) = a(b-a-1)
Đơn giản hai vế cho (a -b -1)
=> b = a
hay : 2 = 1. <= "Đẳng thức" đã được chứng minh ! 8) :P

PS: Chả hiểu tại sao tớ không thể dùng mã [sup][/sup] được ! Chỉ muốn sup một tẹo thôi nhưng nó cứ "sup" hết cả đoạn còn lại (dù tớ chỉ đặt cái cần "sup" trong đoạn [sup][/sup])

Khoảng cách giữa các điểm Ci,Ci+1 càng nhỏ thì thời gian cần thiết để mũi tên bay qua đoạn đường (Ci,Ci+1) đó càng nhỏ. Nghĩa là khi (Ci,Ci+1) -->0 thì (ti,ti+1) cũng -->0. Vậy mặc dù đoạn đường từ A->B có thể chia ra thành "vô tận" nhưng thời gian "cần thiết" để mũi tên đi đến B là cực kỳ giới hạn ( -->0 ) tương ứng với các đoạn (Ci,Ci+1) nhỏ dần cho nên mũi tên vẫn đến đích theo đúng lịch trình của nó. Với điều kiện ( tất nhiên phải thế ), coi như vận tốc của mũi tên là thay đổi đơn điệu, không ảnh hưởng đến bài toán.

Còn cái chứng minh 1=2 đấy chả hay lắm.
a.0=b.0 với mọi a,b tồn tại còn gì. Bác nào có cách biện luận chứng minh nó không dùng phương pháp trên không?

Đúng rồi, vì các nghịch lý này liên quan đến sự liên tục và giới hạn, nên ta phải dùng các tính chất về liên tục và giới hạn để "giải" nó, chứ không thể nói theo kiểu "đơn giản" như bác Thạch sùng được.

Hồi tớ học toán cũng chỉ nắm lơ mơ phần này (mí cả thầy cô cũng chả mấy "thiết tha" với nó, chả bù cho mấy chú học chuyên !). Thầy trò chỉ lo cho xong "thủ tục" rồi nhảy vào "định lý" để làm toán cho ngon lành là xem như "đạt yêu cầu".

Những nghịch lý này tớ cũng chả thấy người viết ra (tớ cóp lại) giải thích, chỉ nói rằng "chúng đã thu hút sự say mê của những người yêu toán học suốt ...hơn 25 thế kỷ nay !". Tuy nhiên, tớ thấy nói như bác Don cũng có vẻ ổn ổn rồi. Có điều có chỗ tớ thấy có vẻ không rõ lắm.

"...Vậy mặc dù đoạn đường từ A->B có thể chia ra thành "vô tận" nhưng thời gian "cần thiết" để mũi tên đi đến B là cực kỳ giới hạn ( -->0 ) tương ứng với các đoạn (Ci,Ci+1) nhỏ dần cho nên mũi tên vẫn đến đích theo đúng lịch trình của nó..."

Quãng đường từ A-->B có thể chia ra thành N đoạn nên thời gian để mũi tên bay đến đích cũng được chia thành N đoạn với N --> oo .

Nghĩa là người ta có thể "lý sự" ở chỗ mũi tên phải vượt qua một khoảng thời gian bao gồm "vô cùng" các khoảng thời gian khác nhau (dù khoảng cuối cùng có thể -->0), điều này giống như một người lữ hành phải vượt qua vô số ngọn núi để đến đích, dù ngọn to ngọn bé (cho dù tốc độ anh ta có là đơn điệu chăng nữa!). Anh ta sẽ không bao giờ vượt qua hàng ...vô số ngọn núi đó được, nghĩa là mũi tên cũng không thể vượt qua tất cả các khảng thời gian đó (gồm vô tận khoảng) để đến đích được!


Về bài toán "chứng minh" "2=1" thì đúng là cách đó dở thật. Có điều chứng minh những "chân lý" kiểu như vậy thường người ta cũng chỉ "lợi dụng" những sơ hở hay gặp ở những người lơ mơ, kiểu như "nhân hay chia hai vế cho 0, nhân hai vế với số âm mà không đảo chiều, bình phương bằng nhau dẫn đến hai số cũng bằng nhau...". Còn chứng minh một cách "chặt chẽ" thì thú thực là tớ chưa biết ! Bác nào biết xin trổ tài cho anh em mở rộng tầm mắt !

Chán bác quá , mấy cái nghịch lý này chỉ có trẻ con mới khoái thôi , ai mà chả đọc rồi còn post lên làm gì nữa .

Tớ nói thời gian cần thiết để đi đến B cực kỳ giới hạn là một cách nói lòng vòng của :"Vì quãng đường AB có độ dài X, và vì tốc độ của mũi tên có thể coi là không giảm bất ngờ trên đường bay ( đến B vẫn nhanh gần bằng từ A đi ) nên tổng thời gian bay của mũi tên là xác định (!), do đó khi các đoạn (Ci,Ci+1) càng nhỏ thì (Ti,Ti+1) càng nhỏ.
Gọi AB=AC1+C1C2+.....+CiC(i+1)...+CnB thì có
T = T1+T2+......+T(i+1).....+Tn, mà T có giới hạn (!) và Tj-->0 với j đủ lớn cho nên có thể coi T=T1+T2+...T(j-1) < oo => tới đích."
;D ;D ;D

Bài này với kiểu bài sau và bài chia tam giác theo đường trung tuyến (?) mãi mãi là những vấn đề người ta đã đặt ra từ lâu nhưng cái hay của nó là làm mình phải suy nghĩ và tìm cách biện luận chút. Bạn Philistine chán nhưng có người thích thì sao?
Nếu tớ nhớ không làm, chính Zenon là người đã chỉ ra sự "đứng yên" của mũi tên tại một thời điểm trên đường bay của nó, và hai nghịch lý trên là cách diễn đạt khác về tư tưởng của ông ấy đối với sự vận động của thế giới.

[quote author=King Ubu II link=board=3;threadid=628;start=0#4510 date=1030644317]
Tớ nói thời gian cần thiết để đi đến B cực kỳ giới hạn là một cách nói lòng vòng của :"Vì quãng đường AB có độ dài X, và vì tốc độ của mũi tên có thể coi là không giảm bất ngờ trên đường bay ( đến B vẫn nhanh gần bằng từ A đi ) nên tổng thời gian bay của mũi tên là xác định (!), do đó khi các đoạn (Ci,Ci+1) càng nhỏ thì (Ti,Ti+1) càng nhỏ.
Gọi AB=AC1+C1C2+.....+CiC(i+1)...+CnB thì có
T = T1+T2+......+T(i+1).....+Tn, mà T có giới hạn (!) và Tj-->0 với j đủ lớn cho nên có thể coi T=T1+T2+...T(j-1) < oo => tới đích."
;D ;D ;D

Bài này với kiểu bài sau và bài chia tam giác theo đường trung tuyến (?) mãi mãi là những vấn đề người ta đã đặt ra từ lâu nhưng cái hay của nó là làm mình phải suy nghĩ và tìm cách biện luận chút. Bạn Philistine chán nhưng có người thích thì sao?
Nếu tớ nhớ không làm, chính Zenon là người đã chỉ ra sự "đứng yên" của mũi tên tại một thời điểm trên đường bay của nó, và hai nghịch lý trên là cách diễn đạt khác về tư tưởng của ông ấy đối với sự vận động của thế giới.
[/quote]

Hì... thực ra tớ cũng hiểu ý bác là như vậy. Nghĩa là bài toán này muốn thuyết phục thì phải đưa đến việc tính giới hạn của dãy T=T1 + T2 +...Tn với N->oo, hay ít nhất là chứng minh lim đó hữu hạn.

Có điều bởi bài trước bác nói không rõ mấy, nên người cắc cớ có thể hỏi thêm thôi, chứ đã đưa ra cái tổng thời gian thì dĩ nhiên là "chặt chẽ " rồi !

Bác nào chứng minh được 100 = 0 không nhỉ ?

Cái gì mà mũi tên với lại con rùa chạy thi theo tớ chẳng có gì là nghịch lý cả .Ít ra cũng được giải quyết bằng sự hiểu biết rõ ràng về giới hạn và liên tục như các bác đã nêu ra rồi . :o 8)