Vnexpress : Thứ tư, 16/7/2003, 17:41 GMT+7

Giả thuyết Poincaré đã được chứng minh?




Henri Poincaré (1854-1912), nhà toán học và vật lý thiên tài người Pháp, nêu lên giả thuyết Poincaré vào năm 1904.


Tiến sĩ Grigori Perelman tại Viện toán học Steklov, thuộc Viện hàn lâm khoa học Nga ở St Petersburg, mới đây tuyên bố rằng ông đã chứng minh được (*)giả thuyết Poincaré (Poincaré Conjecture) - một trong 7 định lý quan trọng nhất trong thiên niên kỷ thứ 2 chưa được làm sáng tỏ...

Tờ New York Times ngày 15/4 nhận định: nếu chứng minh của Perelman được công nhận thì đây sẽ là một sự kiện lớn của toán học thế giới, và Perelman sẽ được Viện toán học Clay thuộc Đại học Cambridge ở Anh trao tặng giải thưởng trị giá 1 triệu USD (ngang với giải Nobel).

Cuộc hành trình của Perelman

Tiếng đồn về công trình của Perelman đã lan truyền rộng rãi từ tháng 11 năm ngoái sau khi ông công bố trên Internet những kết quả chính trong công trình của ông. Trong suốt mấy tháng qua, Perelman đã gặp gỡ các đồng nghiệp tại Mỹ để trao đổi và đã có 2 cuộc báo cáo chuyên môn tại Đại học MIT ở Massachusetts và Đại học New York ở Stony Brook. Tuy nhiên, đến nay Perelman vẫn chưa công bố công trình của mình trên bất kỳ một ấn bản khoa học chính thức nào. Ông từ chối phỏng vấn, nói rằng điều này còn quá sớm. Tờ New York Times cho biết sẽ còn phải mất nhiều tháng trời để các nhà toán học khác xem xét lại thật kỹ càng từng chi tiết nhỏ nhặt trong chứng minh của Perelman, trước khi đi đến kết luận cuối cùng.

Không khí căng thẳng này làm người ta nhớ đến khung cảnh thế giới toán học năm 1993, khi Andrew Wiles lần đầu tiên trình bày công khai chứng minh của mình đối với Định lý cuối cùng của Fermat, trước các nhà toán học tại Đại học Princeton. Lần ấy, chính Wiles đã phát hiện ra sai lầm của mình, và phải mất hơn một năm trời để sửa chữa chứng minh rồi mới đi đến thắng lợi. Dường như Perelman đã học được bài học đó. Điều lý thú là cách làm việc của hai nhà toán học này rất giống nhau. Cả hai cùng đơn thương độc mã đương đầu với một thách thức thuộc tầm cỡ ghê gớm nhất đối với bộ não của con người. Nếu Wiles đã dành trọn 7 năm cho bài toán Fermat, thì Perelman cũng đã mất 8 năm cho bài toán Poincaré (*xem cuối bài). Giờ đây nhân loại đang hồi hộp chờ đợi xem liệu số phận cuối cùng của Perelman có trùng lặp với Wiles hay không, nghĩa là chứng minh của Perelman có thực sự đi đến đích hay không.

Lược sử chứng minh giả thuyết Poincaré

Lịch sử chứng minh giả thuyết Poincaré và Định lý cuối cùng của Fermat có những nét tương phản thú vị.

Với n=2 (n là số mũ của x, y, z trong phương trình), Định lý cuối cùng của Fermat chính là định lý Pythagoras. Sau gần 3 thập kỷ thất bại trong việc tìm một chứng minh tổng quát, các nhà toán học lao vào kiểm nghiệm định lý này bằng computer: thay số mũ n bằng những giá trị cụ thể, đặc biệt bằng những số nguyên tố rất lớn, hy vọng tìm thấy một trường hợp sai. Nhưng tất cả các trường hợp thử đều dẫn tới kết luận định lý đó đúng, không hề có trường hợp nào sai cả. Vì thế có một thời người ta ngờ rằng định lý này thuộc loại bài toán không thể quyết định được (undecidable), tức là nó đúng nhưng không thể chứng minh được và cũng không thể phủ định được.

Tư tưởng này bắt nguồn từ hai lý do: Một, nhân loại đã phải trả một giá quá đắt cho chứng minh - gần 3 thế kỷ nhưng không đạt được kết quả nào; hai, Định lý Bất toàn (Theorem of Incompleteness) của Kurt Godel công bố năm 1931, khẳng định rằng trong toán học tồn tại những mệnh đề không quyết định được. Đó là bối cảnh phức tạp của Định lý cuối cùng Fermat từ những năm 1930 đến cuối thế kỷ 20. Bối cảnh đó càng phức tạp bao nhiêu càng làm nổi bật công trình chứng minh của Andrew Wiles bấy nhiêu. Đó thực sự là một kỳ công của trí tuệ, bằng chứng cho thấy bộ não của con người là một cái gì đó mà computer không bao giờ có thể sánh kịp. Nhưng định mệnh thật mỉa mai: Giải thưởng trị giá khoảng 1,7 triệu USD do Đại học Gottingen hứa trao tặng cho người đầu tiên chứng minh được Định lý cuối cùng của Fermat đã không bao giờ đến tay Andrew Wiles.

Trong khi đó, mặc dù việc chứng minh giả thuyết Poincaré chưa đi đến đích cuối cùng, nhưng bài toán này đã chiếm tới 3 giải thưởng Fields. Đó là kỷ lục dành cho một định lý. Có lẽ chỉ có cách giải thích chuyện trớ trêu này là: Tầm quan trọng của chính bài toán đối với khoa học và mức độ khó khăn phi thường trong chứng minh của nó.

Sau nữa, trình tự chứng minh giả thuyết Poincaré thật "ngược đời". Trường hợp bài toán trong không gian nhiều chiều hơn lại được chứng minh trước, ít chiều hơn được chứng minh sau. Dường như chứng minh trong không gian có số chiều càng thấp lại càng khó! Thực tế đúng như vậy.

Không nên quên rằng Poincaré đã lao vào chứng minh trường hợp không gian 3 chiều, nhưng thất bại. Ban đầu ông tưởng rằng đã tìm ra lời giải, nhưng rồi chính ông lại phát hiện ra sai lầm của mình.

Tình trạng lại càng rối mù vào những năm 1950, khi một nhà toán học Nga chứng minh rằng giả thuyết Poincaré là bài toán bất khả (không giải được) với n=4 và thậm chí với n=3. Nhiều người tin vào kết luận này, vì quả thật Poincaré đã thất bại với bài toán n=3. Nhưng may thay chẳng bao lâu sau, nhận định này bị thực tiễn bác bỏ.

Năm 1966, Stephen Smale được nhận giải thưởng Fields vì đã chứng minh được giả thuyết Poincaré đúng với n=5 và n>5.

Trong những năm 1970, William Thurston, giáo sư Đại học California, đoạt giải Fields vì chứng minh rằng các đa tạp 3 chiều được cấu thành bởi nhiều mảnh đồng nhất, những mảnh này chỉ có thể liên kết với nhau theo những ràng buộc nhất định. Chứng minh này được đánh giá là đóng góp lớn vào việc chứng minh giả thuyết Poincaré.

Năm 1982, Michel Friedman lại đoạt giải Fields vì chứng minh được giả thuyết Poincaré đúng với n=4.

Từ đó đến nay chỉ còn lại trường hợp n=3, đó là bài toán nguyên thủy của giả thuyết Poincaré (*) và là trường hợp khó nhất mà toàn thế giới đang hy vọng vào chứng minh của Perelman.

Người theo dõi công trình của Perelman sát sao nhất hiện nay là Tomasz Mrowka, tiến sĩ toán học thuộc MIT - Đại học công nghệ Massachusetts. Theo Mrowka, công trình của Perelman liên hệ chặt chẽ với những tư tưởng tiên phong của Richard Hamilton, một nhà toán học nổi danh hiện nay thuộc Đại học Columbia. Hamilton là người sáng tạo ra một kỹ thuật mang tên “dòng chảy Ricci”, một công cụ mới mẻ và có nhiều ứng dụng quan trọng trong lĩnh vực nghiên cứu các đa tạp.

Mrowka nhận định “Đây là một trong những sự kiện đáng vui mừng, dù thế nào chăng nữa thì kết thúc vẫn cứ tốt đẹp. Hoặc là ông ấy (Perelman) chứng minh được giả thuyết, hoặc nếu không ít nhất ông ấy cũng sẽ thật sự tạo ra một tiến bộ hết sức quan trọng, và chúng ta sẽ học hỏi được rất nhiều ở đó”. (*) Giả thuyết Poincaré
(*)Giả thuyết Poincaré là bài toán trung tâm của lý thuyết topo (topology), được nêu lên năm 1904, bởi nhà toán học người Pháp Henri Poincaré, người được mệnh danh là Mozart của toán học và là một trong hai trụ cột của toán học thế kỷ 20 (trụ cột thứ hai là David Hilbert).

Nếu nội dung cơ bản của Định lý cuối cùng của Fermat rất dễ hiểu ngay với cả học sinh phổ thông thì giả thuyết Poincaré lại khá phức tạp, khó hiểu ngay cả với những người làm khoa học kỹ thuật. Tuy nhiên, ta có thể tiếp cận tới giả thuyết này bằng con đường giản lược và trực quan, bằng cách bám rễ vào bài toán trong không gian 2 chiều, bài toán đơn giản nhất để từ đó hiểu nội dung của bài toán tổng quát.

Bài toán hai chiều đã được biết từ thế kỷ 19.

Thế kỷ 19 là thế kỷ thắng lợi vĩ đại của hình học với sự ra đời của hình học Phi-Euclid. Sự tồn tại của nhiều không gian hình học khác nhau nhưng tất cả đều hợp lý đã gợi ý các nhà khoa học đi tìm bản chất thật sự của không gian. Người có công lớn nhất trong những nghiên cứu này trước hết phải kể đến là Bernhard Riemann với lý thuyết về các đa tạp nhiều chiều (manyfolds). Người thứ hai là Henri Poincaré, với việc phát minh ra topo đại số. Bài toán cơ bản nhất của topo là bài toán khảo sát sự khác nhau về bản chất hình học giữa mặt cầu với mặt xuyến (mặt torus).



Mặt xuyến (torus) trên đó tồn tại những đường cong khép kín không thể thu nhỏ lại thành một điểm.


Để phát hiện sự khác nhau giữa mặt cầu với mặt xuyến, các nhà toán học xét một đường cong khép kín, giống như một “vòng thòng lọng”, nằm trên các mặt cong đó. Nếu tùy ý thu nhỏ chu vi của đường cong này, tức là nếu “siết chặt thòng lọng” thì điều gì sẽ xảy ra?
Với mặt cầu, dễ thấy rằng diện tích giới hạn bởi đường cong sẽ nhỏ dần tới 0 và quá trình này không gây ra sự hủy hoại nào đối với mặt cầu. Nói cách khác, “thòng lọng” sẽ co rút lại thành một điểm mà vẫn bảo toàn mặt cầu. Nhưng tình hình với mặt xuyến hoàn toàn khác: trên mặt xuyến ta dễ dàng tìm được vô số “vòng thòng lọng” sao cho khi co rút lại thành một điểm, “thòng lọng” đó sẽ cắt ngang thân hình xuyến - làm rách mặt xuyến.

Đó là đặc trưng phân biệt mặt cầu với mặt xuyến. Đặc trưng này có thể diễn đạt theo một cách khác như sau:

Hình xuyến chẳng qua là kết quả của việc bóp một hình cầu - làm biến dạng hình cầu - sao cho đến một lúc nào đó quả cầu bị thủng một lỗ. Chú ý rằng khi bóp quả cầu, cho dù mặt cầu bị méo mó biến dạng (co, dãn, vặn vẹo) nhưng nếu chừng nào nó chưa rách, hoặc chưa bị thủng thì đặc trưng “vòng thòng lọng” vẫn được bảo toàn. Đặc trưng này chỉ biến mất khi mặt cầu bị thủng, tức là lúc mặt cầu biến thành mặt xuyến.

Vậy tất cả những mặt cầu từ nguyên thủy đến lúc biến dạng nhưng chưa thủng đều có đặc trưng “vòng thòng lọng” giống nhau. Để cho gọn, ta gọi tất cả những mặt cầu đó là không gian hai chiều khép kín không thủng (chú ý rằng quả cầu là không gian 3 chiều, nhưng mặt cầu là không gian hai chiều, mặc dù nó cong).

Từ đó các nhà toán học thế kỷ 19 đã chứng minh được một định lý quan trọng:

Không gian 2 chiều khép kín không thủng là duy nhất, ý nói rằng tất cả mọi không gian hai chiều khép kín không thủng đều có đặc trưng hình học như nhau, do đó giữa chúng không có sự phân biệt, tất cả những không gian đó được coi là một - duy nhất. Thí dụ, mặt cầu và mặt của một khối hộp lập phương tuy hình dạng trông khác nhau nhưng dưới con mắt của topo học chúng là một - chúng đều là không gian hai chiều khép kín không thủng.

Định lý này có đúng trong không gian có số chiều lớn hơn hai không? Câu hỏi này nảy sinh trong óc Poincaré và trực giác thiên tài của ông đã trả lời:

Không gian ba chiều khép kín không thủng là duy nhất.

Đó là giả thuyết Poincaré nguyên thủy. Gọi nó là giả thuyết vì đến nay chưa ai chứng minh được. Poincaré đã tổng quát hóa giả thuyết của mình trong không gian n chiều, trong đó “mặt cầu n chiều” được Poincaré gọi là “mặt-siêu-cầu” (hypersphere).
Trong toán học, bài toán này không phải được giải quyết bằng trực quan hình học như chúng ta đang trao đổi, mà bằng các phương trình đại số. Vì thế lý thuyết topo của Poincaré được gọi là topo đại số và Poincaré được tôn vinh là cha đẻ của topo đại số.



(Theo Tia Sáng)

Tin có vẻ vĩ đại đây. Nếu mà đúng là bác Perelman ( nghe rất Do Thái ) này giải được cái này thì Topology lại tiến thêm một bước dài.
Xung quanh Poincare thì có rất nhiều chuyện hay để kể. Do bẩm sinh ông ấy đã bị bệnh nên thị lực rất kém cũng như tay run không viết được như người bình thường. Vì thế hồi nhỏ cách học của Poincare là nhắm mắt ngồi nghe giảng và xử lý tòan bộ bài giảng của thầy giáo ở trong đầu ngay lập tức chứ không có nhìn, ghi chép gì cả. Đến khi thi đại học ông ấy thi vào Polytechnique Paris, nhưng không phải là học ngành tóan mà là ngành thủy lợi ( hay đại lọai là một ngành nghe rất buồn cười ). Tuy nhiên- Poincare là một tay thiên tài về sáng tạo. Ông giỏi nhất là trong hình học, đồng thời cũng là cha đẻ của Topology đại số ( đâu như năm 1887, còn Topology tập hợp thì là Hausdorff vào năm 1914 ). Chuyện lạ nhất cần kể là về chuyện đo chỉ số thông minh của Poincare. Thời đó phương pháp trắc nghiệm chỉ số thông minh mới ra đời-và cha đẻ của nó là bác sĩ X ( em quên tên rồi ) đã thử nghiệm cho rất nhiều người. Phương pháp đo này trở nên nổi tiếng ( cho đến ngày nay!) và ông bác sĩ ấy đã thử đo chỉ số thông minh của Poincare. Kết quả là chỉ số thông minh của Poincare không trội hơn một con khỉ ( dưới 80/160 ) . Trường hợp tương tự cũng diễn ra với Einstein cho nên về sau người ta kết luận là phương pháp trắc nghiệm chỉ số thông minh nó không thể đo được khả năng tư duy phức tạp mà chỉ có khả năng đo được phản ứng nhanh chậm, khả năng tư duy ngắn, tuyến tính mà thôi- tức là chỉ dùng để đo sự khôn (vặt) của con người được thôi! chứ không áp dụng được cho những người mạnh về sự sáng tạo mà không nổi trội về khả năng tính nhanh, tính ngắn.

( Người thuận tay trái vì thế chỉ số thông minh nếu đo bằng các IQ tests thường sẽ không cao. Einstein, Newton, Beethoven, Mozart, Napoleon, Kant, Nietzsche, Aritoteles, Goethe, de Vinci, Michelangelo, Raphael, Picasso.. đều là những người thuận tay trái.).


Các bác có hứng muốn tìm hiểu tiểu sử những nhà tóan học và vật lý, triết học ..nổi danh trong lịch sử có thể vào đây để đọc:

http://www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/B.../BiogIndex.html

Đọc trong này về các tay tóan và vật lý lớn nhất của cả thế kỷ 20 mới thấy là bọn Do Thái nó kinh thế nào. Những cái tên nổi tiếng nghe cứ tưởng dân châu Âu như Niels Bohr, Pauli, Polya, Schrödinger, Max Born, Noether, Herman Weyl... đều là Do Thái cả. Bây giờ đếm ngược lại những thằng làm nên vật lý và tóan thế kỷ 20 ( tính đến trứơc 1950 ) mà ai cũng biết xem có bao nhiêu không phải là Do Thái ( hoặc 1 trong hai bố mẹ là Do Thái ) thì chỉ tính được một số sau:
Max Planck ( cha đẻ của cơ học lượng tử-1900- cũng là người đầu tiên tuyên bố không hiểu cơ học lượng tử! ), Heisenberg, Werner von Braun ( cha đẻ tên lửa vũ trụ và Nasa ), Hilbert ( Đức ), Poincare, Lebesque ( Pháp ), Dirac, Hardy, Turing ( Anh ), Fermi ( Ý )...

--------------

Thông tin thêm một ít là đồng chí Andrew Wiles- người giải bài tóan Fermat nổi tiếng không được giải Fields chính thức mà chỉ được một giải bạc năm 1998 thôi. Lý do là Wiles chỉ giải hòan thiện bài tóan này chứ trước đó- vào năm 83- Gerd Faltings sau khi cùng lúc chứng minh liên tiếp 3 giả thuyết lớn(!)- mà quan trọng nhất là giả thuyết của Mordell vào năm 1922- đã gián tiếp chứng minh đựơc phương trình đó có hữu hạn các nghiệm nguyên rồi. Gerd Faltings lúc đó 29 tuổi- và năm 84 cũng đã nhận được giải Fields với lời phát biểu của cử tọa là: "chứng minh của Faltings đã mở thêm một chương cho số học và là một trong những khỏang khắc lớn của lịch sử tóan".
Nếu bác Perelman này chứng minh đựơc nốt cho trường hợp n=3 giả thuyết của Poincare thì em sợ rằng bác ấy cũng không nhận được giải Fields đâu, vì cho các trường hợp khác người ta đã chứng minh được rồi. Bây giờ bài tóan khó nhất ( có thể coi là cả lịch sử tóan ) là giả thuyết của Riemann về sự phân bố của số nguyên tố trong các hàm Zeta. Về giải thuyết này người ta mới chỉ tính thực nghiệm đựơc một số trường hợp ( do không đủ thời gian và máy tính cũng chưa thể tính đựơc nhiều hơn ) cho tới mũ 50 thì phải. Chứ chưa có một lý thuyết tổng quát nào chứng minh nó ở một bậc nào hết. Cho nên, ai giải đựơc cái giả thuyết này thì có lẽ sẽ ngay tắp lự được giải Fields mà không ai có thể tranh cãi được gì.

Em thì chả biết giả thuyết gì.Nhưng dù người ta giải ra rồi ,ví như định lý Fermat thì mấy nhà toán học Việt Nam hiểu được lời giải ?

Tại sao lại không ?
n=3 là trường hợp khó nhá nhất cơ mà ? Các trương hợp, n=4, n=5 và n>5 đều được giải Fields rồi thì cái này lẽ ra phải được 2F mới đúng !
Dưng mà Fields chỉ được có 1 triệu đô thì ít quá nhỉ
Ây là anh so với bọn đấm bốc với lại người mẫu . Mk học lòi mắt ra cả đời mới may ra kiếm được 1 triệu bọ, trong khi mấy thằng đầu óc ngu si tứ chi phát triển chỉ đấm vài trái hay đi ưỡn ẹo vài cái cho người ta chụp ảnh cũng bỏ túi vài triệu ! Cái giá chất xám, dù ở bậc siêu , xưa nay vẫn là bèo !

Nhưng mà các nhà bác học có luyện tập lòi cả mắt mũi tứ chi ra thì cũng không có cú đấm của Tyson, ngoại hình gợi cảm như các cô người mẫu lại càng xa vời bác à. Mí cái này toàn là thứ thiên phú, cao giá là đúng rồi.
Mà bác cứ bình tĩnh, các bác prof này lương cao cả, nếu thêm 1 triệu đô tiền thưởng chắc là tax-free, thế là cũng no ấm rồi.

Theo định luật Ubu thì cha nội Perelman này chắc cũng thuộc dạng "tưng tửng", nhỉ .

Nói thiệt chứ từ trước tới giờ em rất khinh bọn óc ngắn nhưng kiếm được bạc tỷ nhờ chân dài, mông cong, ngực bự, mét tám (đối với gái) và tay to, chân to, đít to, "ấy" to (đối với trai). Nhưng mà khổ nỗi cái gì quý giá trên đời này đều không thuộc về số đông nên bọn làm trò hề đó thành công cũng nhờ được đa số bọn ngu si trên đời này ủng hộ. Nói chung là những ai muốn làm lớn thì phải chịu thiệt thòi một tí.

M?y bác Smale, Freedman, Thursten ???c Fields không ph?i ch? vì ch?ng minh ???c cho các tr??ng h?p khác c?a gi? thuy?t Poincare mà là còn vì các bác ?y ?? ra các h? th?ng tóan m?i thông qua ch?ng minh ?ó. N?u vi?c ch?ng minh tr??ng h?p n=3 c?a bác Perelman mà ?? ra m?t lý thuy?t m?i ch?a ai bi?t và có ?ng d?ng l?n thì bác ?y m?i có th? ??at Fields. Tuy nhiên, nh? tr??ng h?p c?a Wiles ch?ng minh hòan thi?n cái Fermat thì hình nh? bác ?y ch? s? d?ng gi? thuy?t v? các ???ng Elip 4 chi?u c?a Shimura và d?a trên cái ch?ng minh Mordell c?a Faltings cho nên c?ng không có lý thuy?t m?i nào ???c xây d?ng c?. D? bác Perelman c?ng làm t??ng t? thôi.
Bác Smale còn là m?t tay ph?n ??i chi?n tranh ? VN ??c bi?t gay g?t. ( Các bác nh? Chomsky, Smale hay Bob Dylan ??u là nh?ng tay ch?ng chi?n tranh VN. )

V? ch?ng minh c?a Wiles- nghe nói nó dài ?âu kh?ang 80 trang cho nên mu?n hi?u ???c nó ngòai ki?n th?c r?t cao v? hình h?c ??i s? ( algebraic geometry ) và s? h?c thì còn c?n th?i gian ng?i ??c và ki?m ch?ng n?a. N?u vi?t v?n t?n con ???ng ch?ng minh thì ng??i th??ng h?c ??i h?c tóan xong c?ng hi?u ???c. Còn n?u mu?n ??c ?? hi?u chi ti?t thì ch?c ph?i c? ti?n s? Tóan ( không ph?i ti?n s? b?o v? ? VN ) các chuyên ngành hình h?c ??i s? tr? lên. Nói chung không ph?i là ch? có t?m 100 ng??i trên th? gi?i có th? hi?u ???c ?âu, mà là ng??i ta ch? c?n t?ng ?ó ng??i hi?u ( tòan các giáo s? c? b?, có uy tín trong gi?i Tóan ) ?? công nh?n r?ng Wiles ?úng mà thôi.

Bác nào mu?n nghe th? gi? thuy?t c?a Shimura, c?ng nh? m?y lý thuy?t ??c bi?t c?a algebraic Geometry thì nên vào cái ??a ch? Link ? trên cùng em ??a ra ?y. Trong ?ó tòan cao th? h?ng nh?t v? hình h?c ??i s? gi?ng bài. Tr??ng h?p quan tr?ng nh?t trong hình h?c ??i s? có l? bác Alexander Grothendieck ( 1928-, ??, l?n lên ? ??c, b? ng??i Nga b? Fat-xit gi?t nên bác này ch?y sang Pháp và d?y ? ??i h?c Paris- ch?c Sorbounre, ??at Nobel n?m 1966 nh?ng sau ?ó vài n?m quy?t ??nh ngh? h?u ?? làm Hermit ) v?i lý thuy?t Shemata và xây d?ng l?i n?n t?ng c?a tòan b? hình h?c ??i s?. Trong th? k? 20, k? t? sau th? chi?n 2 thì bác Grothendieck này có l? là m?t trong nh?ng tay thiên tài nh?t c?a tóan h?c, bên c?nh Paul Erdoes.

really silly question: ứng dụng của các lý thuyết toán rối rắm và trừu tượng trên đây là ở đâu (nếu có quá ít người hiểu nó như vậy)?Làm nền tảng cho các khoa học khác? Để thiết lập nên các hệ thống tư duy? Để mở rộng hệ thống kiến thức của nhân loại?
Cụ thể như topology chắc chắn có nhiều ứng dụng thực tiễn (em đoán thế vì thấy các form kiểu torus hay mesh trong bài viết trong thực tế là rất hay gặp), ai đó nói sơ sơ vài ứng dụng của nó được không?
-----------
híc định đọc lại cái bài dài ngoằng của anh Xe ở trên nhưng nó bị sao rồi kìa.

Mạng này lại bị lỗi ký tự à? Vậy có thể do bác n/a đây thôi. Đề nghị bác n/a đăng ký tên khác để tiếp tục tham gia. Cái tên n/a có lẽ có vấn đề với database của VNE nên sẽ bị xóa trong vòng ngày mai.

Ứng dụng của Topology thì bác có thể đọc ở đây, tìm Google là ra thôi:

http://www.gsf.de/ILIAD/reports/buckow/sec...000000000000000

Đây có bài phỏng vấn bác Wiles về bài toán Fermat.
----------------
Interview with Andrew Wiles
Nova Website
by Simon Singh

Andrew Wiles has devoted his entire career to solving Fermat’s Last Theorem, the world’s most notorious mathematical problem. In 1993, he made front-page headlines when he announced a proof of the problem, but this was not the end of the story. An error in his calculation jeopardized his life’s work. Andrew Wiles spoke to NOVA and described how he came to terms with the mistake, and fought back to eventually achieve his life’s ambition.

NOVA : Many great scientific discoveries are the result of obsession, but in your case that obsession has held you since you were a child.

ANDREW WILES : I grew up in Cambridge in England, and my love of mathematics dates from those early childhood days. I loved doing problems in school, I’d take them home and make up knew ones of my own. But the best problem I ever found I found in my local public library. I was just browsing through the section of math books and I found this one book, which was all about one particular problem - Fermat’s Last Theorem. This problem had been unsolved by mathematicians for 300 years. It looked so simple, and yet all the great mathematicians in history couldn’t solve it. Here was a problem, that I a ten year old could understand and I knew from that moment that I would never let it go. I had to solve it.

NOVA : And who was Fermat and what was his Last Theorem?

AW : Fermat was a seventeenth century mathematician who wrote a note in the margin of his book stating a particular proposition and claiming to have proved it. His proposition was about an equation which is closely related to Pythagoras’s equation. Pythagoras’s equation gives you: x2 + y2 = z2. You can ask what are the whole number solutions to this equation and you can see that: 32 + 42 = 52 and 52 + 122 = 132. And if you go on looking then you find more and more such solutions. Fermat then considered the cubed version of this equation: x3 + y3 = z3. He raised the question, can you find solutions to the cubed equation? He claimed that there were none. In fact, he claimed that for the general family of equations: xn + yn = zn, where n is bigger than 2, it is impossible to find a solution. That’s Fermat’s Last Theorem.

NOVA: So Fermat said because he could not find any solutions to this equation, then there were no solutions?

AW: He did more than that. Just because we can’t find a solution it doesn’t mean that there isn’t one. Mathematicians aren’t satisfied because they know there are no solutions up to four million or four billion, they really want to know that there are no solutions up to infinity. And to do that we need a proof - Fermat said he had a proof. Unfortunately, all he ever wrote down was: “I have a truly marvellous demonstration of this proposition which this margin is too narrow to contain.”

NOVA: What do you mean by a proof?

AW: In a mathematical proof you have a line of reasoning consisting of a many, many steps, what are almost self-evident. If the proof we write down is really rigorous then nobody can ever prove it wrong. There are proofs that date back to the Greeks that are still valid today.

NOVA: So the challenge was to rediscover Fermat’s proof of the Last Theorem. Why did it become so famous?

AW: Well, some mathematics problems look simple, and you try them for a year or so, and then you try them for a hundred years, and it turns out that they’re extremely hard to solve. There’s no reason why these problems shouldn’t be easy, and yet they turn out to be extremely intricate. The Last Theorem is the most beautiful example of this.

NOVA: But finding a proof has no applications in the real world - it is a purely abstract question. So have people put so much effort into finding a proof?

AW: Pure mathematicians just love to try unsolved problems - they love a challenge. And as time passed and no proof was found, it became a real challenge. I’ve read letters in the early 19th century which said that it was an embarrassment to mathematics that Last Theorem had not been solved. And of course, it’s very special because Fermat said that he had a proof.

NOVA: How did you begin looking for the proof?

AW: In my early teens I tried to tackle the problem as I thought Fermat might have tried it. I reckoned that he wouldn’t have known much more math than I knew as a teenager. Then when I reached college I realized that many people had thought about the problem during the 18th and 19th centuries and so I studied those methods. But I still wasn’t getting anywhere. Then when I became a researcher I decided that I should put the problem aside. It’s not that I forgot about it - it was always there - but I realized that the only techniques we had to tackle it had been around for 130 years. It didn’t seem that these techniques were really getting to the root of the problem. The problem with working on Fermat was that you could spend years getting nowhere. It’s fine to work on any problem, so long as it generates interesting mathematics along the way - even if you don’t solve it at the end of the day. The definition of a good mathematical problem is the mathematics it generates rather than the problem itself.

NOVA : It seems that the Last Theorem was considered impossible, and that mathematicians could not risk wasting getting nowhere. But then in 1986 everything changed. A breakthrough by Ken Ribet at the University of California at Berkeley linked Fermat’s Last Theorem to another unsolved problem, the Taniyama-Shimura conjecture. Can you remember how you reacted to this news?

AW : It was one evening at the end of the summer of 1986 when I was sipping iced tea at the house of a friend. Casually in the middle of a conversation this friend told me that Ken Ribet had proved a link between Taniyama-Shimura and Fermat’s Last Theorem. I was electrified. I knew that moment that the course of my life was changing because this meant that to prove Fermat’s Last Theorem all I had to do was to prove the Taniyama-Shimura conjecture. It meant that my childhood dream was now a respectable thing to work on. I just knew that I could never let that go.

NOVA : So, because Taniyama-Shimura was a modern problem, this meant that working on it, and by implication trying to prove Fermat’s Last Theorem, was respectable.

AW : Yes. Nobody had any idea how to approach Taniyama-Shimura but at least it was mainstream mathematics. I could try and prove results, which, even if they didn’t get the whole thing, would be worthwhile mathematics. So the romance of Fermat, which had held me all my life, was now combined with a problem that was professionally acceptable.

NOVA : At this point you decided to work in complete isolation. You told nobody that you were embarking on a proof of Fermat’s Last Theorem - why was that?

AW : I realised that anything to do with Fermat’s Last Theorem generates too much interest. You can’t really focus yourself for years unless you have undivided concentration, which too many spectators would have destroyed.

NOVA : But presumably you told your wife what you were doing?

AW : My wife’s only known me while I’ve been working on Fermat. I told her on our honeymoon, just a few days after we got married. My wife had heard of Fermat’s Last Theorem, but at that time she had no idea of the romantic significance it had for mathematicians, that it had been such a thorn in our flesh for so many years.

NOVA : On a day to day basis, how did you go about constructing your proof?

AW : I used to come up to my study, and start trying to find patterns. I tried doing calculations which explain some little piece of mathematics. I tried to fit it in with some previous broad conceptual understanding of some part of mathematics that would clarify the particular problem I was thinking about. Sometimes that would involve going and looking it up in a book to see how it’s done there. Sometimes it was a question of modifying things a bit, doing a little extra calculation.

And sometimes I realised that nothing that had ever been done before was any use at all. Then I just had to find something completely new - it’s a mystery where that comes from. I carried this problem around in my head basically the whole time. I would wake up with it first thing in the morning, I would be thinking about it all day and I would be thinking about it when I went to sleep. Without distraction I would have the same thing going round and round in my mind.
The only way I could relax was when I was with my children. Young children simply aren’t interested in Fermat, they just want to hear a story and they’re not going to let you do anything else.

NOVA : Usually people work in groups and use each other for support. What did you do when you hit a brick wall?

AW : When I got stuck and I didn’t know what to do next, I would go out for a walk. I’d often walk down by the lake. Walking has a very good effect in that you’re in this state of relaxation, but at the same time you’re allowing the sub-conscious to work on you. And often if you have one particular thing buzzing in your mind then you don’t need anything to write with or any desk. I’d always have a pencil and paper ready and if I really had an idea I’d sit down at a bench and I’d start scribbling away.

NOVA : So for seven years your pursuing this proof. Presumably their are periods of self-doubt mixed with the periods of success.

AW : Perhaps I can best describe my experience of doing mathematics in terms of a journey through a dark unexplored mansion. You enter the first room of the mansion and it’s completely dark. You stumble around bumping into the furniture but gradually you learn where each piece of furniture is. Finally, after six months or so, you find the light switch, you turn it on, and suddenly it’s all illuminated. You can see exactly where you were. Then you move into the next room and spend another six months in the dark. So each of these breakthroughs, while sometimes they’re momentary, sometimes over a period of a day or two, they are the culmination of , and couldn’t exist without, the many months of stumbling around in the dark that proceed them.

NOVA : And during those seven years, you could never be sure of achieving a complete proof.

AW : I really believed that I was on the right track, but that did not mean that I would necessarily reach my goal. It could be that the methods needed to take the next step may simply be beyond present day mathematics. Perhaps the methods I needed to complete the proof would not be invented for a hundred years. So even if I was on the right track, I could be living in the wrong century.

NOVA : Then eventually in 1993, you made the crucial breakthrough.

AW : Yes, it was one morning in late May my wife, Nada, was out with the children and I was sitting at my desk thinking about the last stage of the proof. I was casually looking at a research paper and there was one sentence that just caught my attention. It mentioned a nineteenth century construction, and I suddenly realised that I should be able to use that to complete the proof. I went on into the afternoon and I forgot to go down for lunch, and by about three or four o’clock I was really convinced that this would solve the last remaining problem. It got to about tea time and I went downstairs and Nada was very surprised that I’d arrived so late. Then I told her - I’d solved Fermat’s Last Theorem.

NOVA : The New York Times exclaimed “At Last Shout of “Eureka!” in Age-Old Math Mystery”, but unknown to them, and to you, there was an error in your proof. What was the error?

AW : It was an error in a crucial part of the argument, but it was something so subtle that I’d missed it completely until that point. The error is so abstract that it can’t really be described in simple terms. Even explaining it to a mathematician would require the mathematician to spend two or three months studying that part of the manuscript in great detail.

NOVA : Eventually, after a year of work, and after inviting the Cambridge mathematician Richard Taylor to work with you on the error, you managed to repair the proof. The question that everybody asks is this - is your proof the same as Fermat’s?

AW : There’s no chance of that. Fermat couldn’t possibly have had this proof. It’s 150 pages long. It’s a 20th century proof, it couldn’t have been done in the 19th century, let alone the seventeenth century. The techniques used in this proof just weren’t around in Fermat’s time.

NOVA : So Fermat’s original proof is still out there somewhere.

AW : I don’t believe Fermat had a proof. I think he fooled himself into thinking he had a proof. But what has made this problem special for amateurs is that there’s a tiny possibility that there does exist an elegant seventeenth century proof.

NOVA : So some mathematicians might continue to look for the original proof. What will you do next?

AW : There’s no problem that will mean the same to me. Fermat was my childhood passion. There’s nothing to replace it. I’ll try other problems. I’m sure that some of them will be very hard and I’ll have a sense of achievement again, but nothing will mean the same to me - there’s no other problem in mathematics that could hold me the way that this one did.There is a sense of melancholy. We’ve lost something that’s been with us for so long, and something that drew a lot of us into mathematics. But perhaps that’s always the way with math problems, and we just have to find new ones to capture our attention. People have told me I’ve taken away their problem - can’t I give them something else? I feel some sense of responsibility. I hope that seeing the excitement of solving this problem will make young mathematicians realize that there are lots and lots of other problems in mathematics which are going to be just as challenging in the future.

NOVA : What is the main challenge now?

AW : The greatest problem for mathematicians now is probably the Riemann Hypothesis. But it’s not a problem that can be simply stated.

NOVA : And is there any one particular thought that remains with you now that Fermat’s Last Theorem has been laid to rest?

AW : Certainly one thing that I’ve learned is that it is important to pick a problem based on how much you care about it. However impenetrable it seems, if you don’t try it, then you can never do it. Always try the problem that matters most to you. I had this rare privilege of being able to pursue in my adult life, what had been my childhood dream. I know it’s a rare privilege, but if one can really tackle something in adult life that means that much to you, then it’s more rewarding than anything I can imagine.

NOVA: And now that journey is over, there must be a certain sadness?

AW : There is a certain sense of sadness, but at the same time there is this tremendous sense of achievement. There’s also a sense of freedom. I was so obsessed by this problem that I was thinking about if all the time - when I woke up in the morning, when I went to sleep at night, and that went on for eight years. That’s a long time to think about one think . That particular odyssey is now over. My mind is now at rest.
-------------------

Thuc su la minh khong hieu lam

Mấy cái thứ này chẳng có cái gì để hiểu được đâu nếu như các bác không phải là dân chuyên ngành tóan, đặc biệt là đúng lĩnh vực số học đại số, topology, số học giải tích, hình học đại số. Em cũng chỉ biết nội dung mấy cái giả thuyết ấy chứ còn lời giải chứng minh chúng thì em chịu không hiểu tí gì. Có gì mai em xin viết thêm một ít giải thích thêm một ít để các bác biết thêm thông tin về mấy cái giả thuyết và chứng minh này theo trình độ của em.

Các bác không trong ngành tóan thì có viết ra chắc cũng không hiểu và không có ích gì cả. Cho nên thôi em làm công việc sưu tầm tài liệu cho các bác:

1. Về giả thuyết của Poincare:
http://www.math.unl.edu/~mbritten/ldt/poincare.html
http://www.sciencedaily.com/encyclopedia/P...r%E9_conjecture

2. Về giả thuyết của Riemann:
http://www.utm.edu/research/primes/notes/rh.html

3. Về chứng minh bài tóan Fermat lớn của A. Wiles:
http://www.pbs.org/wgbh/nova/proof/wiles.html

Bài tóan của Fermat chỉ cần học hết lớp 8 là có thể hiểu được đề bài (việc làm khuếch đại độ popular của nó), còn với hai giả thuyết của Poincare và Riemann thì người ta cần học ít nhất là hết 1-2 năm đại cương trên đại học về ngành tóan để hiểu đựơc đề bài. Việc này cũng làm cho ít người biết đến chúng hơn.
Còn về ý nghĩa, thì từ những năm 1950 nhà tóan học lớn của Anh là Hardy đã phát biểu rằng :"Bài tóan của Fermat lớn nếu có giải được thì cũng chỉ có ý nghĩa lịch sử, chứ không có ứng dụng quan trọng nào nữa cả". Đó là vì cho đến thời điểm ấy- số học thuần túy đã được coi như lĩnh vực không có ứng dụng nào trong khoa học, đời sống nữa. Về sau này- do sự phát triển của Tin học mà số học lấy lại được một phần ý nghĩa- cụ thể là trong các lĩnh vực bảo mật- nhưng cũng phải núp dứơi một dạng mới gọi là số học đại số.
Ý nghĩa của hai giả thuyết kia thì to lớn hơn nhiều nhiều lần. Giả thuyết của Poincare được chứng minh thứ nhất sẽ giúp cho Topology trở thành một hệ thống hòan hảo trong tóan học. Thứ nhì là thông qua cách giải của Perelman người ta có thêm một vũ khí mới trong tóan học để hiểu được nhiều hơn bản chất của các hệ phương trình vi phân cục bộ (partiell differential equalition systems)- rất quan trọng trong mọi quá trình vật lý- kỹ thuật.
Giả thuyết của Riemann còn được coi là vấn đề nan giải nhất của tóan học và cũng là bài tóan chìa khóa cho rất nhiều vấn đề ở nhiều lĩnh vực khác nhau trong cuộc sống. Có thể mọi người sẽ ngạc nhiên nếu như sự chứng minh "nghe hòan tòan tóan học, không liên quan gì đến những thứ khác" của nó lại có thể giúp cho con người giải mã hòan tòan DNA, tìm hiểu chính xác cấu trúc của các virus AIDS, tính được phương trình vũ trụ, tính được một số hiện tượng trong kinh tế và hàng lọat các ứng dụng khác trong rất nhiều ngành.
Nếu Wiles đã chứng minh được bài tóan Fermat và trở thành nổi tiếng khắp nơi thì ai mà giải được giả thuyết của Riemann có lẽ sẽ được coi là nhà tóan học lớn nhất và quan trọng nhất thế kỷ 21 này cũng nên (nếu như người ta có thể giải nó trong thế kỷ này, còn sang thế kỷ sau thì chưa chắc nó đã được coi trọng như vậy).

Nói chung những người không theo ngành tóan thì gần như không có cách gì để hiểu được lời giải bài tóan Fermat hay giả thuyết của Poincare. Trên thế giới- cho mỗi lời giải này cũng không có nhiều hơn 100 người hiểu đựơc. Cho giải thuyết của Riemann thì lời giải hiện nay chưa có và cũng không có hứa hẹn gì sẽ có nhiều hơn 100 người hiểu nó nếu nó được giải.


Sách cho dân không học tóan hoặc đang học tóan phổ thông:
1. "the mathematics experimence" của David Hersh
2. 2 cuốn "Five Golden Rules" và "Five more Golden Rules" của Casti mà đọc. Đây là hai cuốn nói về 10 trong số những lý thuyết tóan học quan trọng trong thế kỷ 20.
3. "Fermat last theorem" của Simon Sigh.

Wow, mình quá ngưỡng mộ bác Grigory Perelman, bác được giải một triệu đô mà bác từ chối. "Anh đang quấy rầy tôi đấy hả. Tôi còn đang bận hái nấm" - bác nói với một phóng viên.
http://www.guardian.co.uk/world/2010/mar/2...ects-1m-dollars

Trên đời còn có những con người như thế này chứ, họ khiến ta yêu cả cuộc đời này.

Bác này đầu có vấn đề, haizz